您当前的位置:首页 >> 图库
平面几何小结论之7 孪生双圆
发布时间:2019-08-18
 

    我们把某个平面几何构型中产生的半径相等的两个圆,称为孪生双圆。

    为此,先从如下一道奥数试题说起

  2013年日本数学奥林匹克总决赛第4题为:

  ⊿ABC为锐角三角形(如图1),H为其垂心,过B、C的一个圆与以AH为直径的圆交于X、Y点(XY,D为点A到直线BC的垂足,K是点D到直线XY的垂足.证明:∠BKD=∠CKD.

  

   文【1】将该命题里的三角形拓广到一般三角形及两圆相切或相离的情形,并给出了这两圆相切的一个充要条件.得到如下命题

   

证明  (I) 分别以BC、DA为x轴、y轴建立直角坐标系(图2),

  


图3

     从上述推导过程我们易看到:通过B、C两点,存在两个圆与以AH为直径的分别外切、内切,且这两个圆的圆心关于直线BC对称,也就是说这两个圆是孪生双圆.

    也就是得到如下命题:

     在△ABC中,∠B与∠C均为锐角,H为垂心,以AH为直径的圆记为O,经过BC两点的圆MN分别与O内切、外切,则⊙M与⊙N是孪生双圆.

   顺便贴出唐老师的证明

    

     叶中豪先生给出了如下一般构型中,产生孪生双圆的充要条件,得到一个有趣的命题:

平面上有一个圆A和两个点BC,则经过BC两点且与A外切、内切的两圆半径相等的充要条件是:A和以BC为直径的圆正交.

所谓两圆正交,就是指经过这两圆交点的两条切线互相垂直.

    



参考文献 

【1】关于一道日本2013年奥数决赛试题的深度探究  《数学教学》2013年第8期